第六章：几何变换

类层次结构

本章介绍几何变换相关的类。相关内容请参见：

• 向量运算：第三章
• 矩阵运算：第二章
• 稀疏变换：第七章

classDiagram
    class Transform~Scalar~ {
        +matrix() Matrix
        +translate(Vector)
        +rotate(Angle, Axis)
        +scale(Vector)
    }
    
    class Rotation~Scalar~ {
        +matrix() Matrix
        +eulerAngles()
        +angleAxis()
        +quaternion()
    }
    
    class Translation~Scalar~ {
        +vector() Vector
        +transform(Point)
    }
    
    class Scaling~Scalar~ {
        +factors() Vector
        +transform(Point)
    }
    
    Transform --> Rotation
    Transform --> Translation
    Transform --> Scaling

类说明

1. Transform：变换基类
   • 提供基本的变换操作
   • 支持组合变换
   • 继承自第一章的 MatrixBase
2. Rotation：旋转变换
   • 支持多种旋转表示
   • 提供旋转插值功能
   • 详细旋转操作见第三章
3. Translation：平移变换
   • 实现向量平移
   • 支持点的变换
   • 与向量运算紧密相关
4. Scaling：缩放变换
   • 支持非均匀缩放
   • 提供缩放插值
   • 可用于坐标系变换

6.1 基本概念

6.1.1 变换类型及其性质

• 刚体变换：保持距离不变
  • 复杂度：O(1)
  • 存储：12个参数
• 相似变换：保持角度不变
  • 复杂度：O(1)
  • 存储：13个参数
• 仿射变换：保持平行关系
  • 复杂度：O(1)
  • 存储：16个参数

6.1.2 变换表示方法

• 矩阵形式：4x4齐次矩阵
• 四元数+平移：7个参数
• 轴角+平移：6个参数

6.2 三维旋转表示

6.2.1 旋转表示方法

• 欧拉角：
  • 优点：直观易理解
  • 缺点：万向节死锁
  • 存储：3个参数
• 旋转矩阵：
  • 优点：组合方便
  • 缺点：参数冗余
  • 存储：9个参数
• 四元数：
  • 优点：紧凑稳定
  • 缺点：不直观
  • 存储：4个参数

6.2.1 欧拉角

// 从旋转矩阵获取欧拉角
Vector3d euler = R.eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX顺序

6.3 基本变换

Eigen 提供了多种几何变换类型，包括平移、旋转、缩放等。

主要的变换类型包括：

• Translation3d：平移变换
• AngleAxisd：轴角旋转
• Quaterniond：四元数旋转
• Scaling3d：缩放变换

6.1.1 平移

Vector3d translation(1, 2, 3);
Translation3d t(translation);
// 或者直接使用向量
Translation3d t(1, 2, 3);

6.1.2 旋转

Eigen 提供了多种旋转表示方法，每种方法都有其特点和适用场景：

1. Matrix3d（旋转矩阵）
   • 3x3 双精度矩阵
   • 直观但参数冗余（9个参数表示3自由度）
   • 成员函数：
     • eulerAngles(i,j,k): 提取欧拉角，i,j,k指定轴的顺序
2. AngleAxisd（轴角表示）
   • 最简单的旋转表示方法
   • 构造函数：AngleAxisd(angle, axis)
   • 成员函数：
     • angle(): 获取旋转角度
     • axis(): 获取旋转轴
     • matrix(): 转换为矩阵形式
   • 可以直接相乘组合多个旋转
3. Quaterniond（四元数）
   • 最稳定的旋转表示方法
   • 构造函数：
     • Quaterniond(w,x,y,z): 直接指定四元数分量
     • Quaterniond(Matrix3d): 从旋转矩阵构造
     • Quaterniond(AngleAxisd): 从轴角构造
   • 成员函数：
     • w(),x(),y(),z(): 获取四元数分量
     • matrix(): 转换为矩阵形式
     • normalized(): 归一化

示例代码：

// 使用欧拉角（ZYX顺序）
Matrix3d R = AngleAxisd(yaw, Vector3d::UnitZ())
           * AngleAxisd(pitch, Vector3d::UnitY())
           * AngleAxisd(roll, Vector3d::UnitX());

// 使用四元数
Quaterniond q = AngleAxisd(angle, axis);

6.1.3 缩放

Vector3d scale(2, 2, 2);
Scaling3d s(scale);
// 或者直接使用标量
Scaling3d s(2.0);

6.3 变换组合

在实际应用中，我们经常需要将多个变换组合在一起，比如先旋转再平移。Eigen 提供了多种变换组合的方式。

6.3.1 仿射变换

// 创建变换矩阵
Affine3d transform = Translation3d(1, 2, 3)
                   * AngleAxisd(M_PI/2, Vector3d::UnitZ())
                   * Scaling3d(2.0);

// 应用变换
Vector3d point(1, 0, 0);
Vector3d transformed = transform * point;

6.3.2 刚体变换

// 使用Isometry3d表示刚体变换（旋转+平移）
Isometry3d T = Isometry3d::Identity();
T.rotate(q);
T.pretranslate(Vector3d(1, 2, 3));

6.4 代码示例说明

6.4.1 transforms.cpp 详解

这个示例展示了如何使用 Eigen 进行基本的几何变换。让我们逐行分析代码：

// 创建一个点和变换
Vector3d point(1, 0, 0);  // 在x轴上的点
cout << "原始点: " << point.transpose() << endl;

// 1. 平移变换
Translation3d translation(1, 2, 3);  // 在x,y,z方向分别平移1,2,3单位
Vector3d translated = translation * point;
cout << "平移后: " << translated.transpose() << endl;

• Vector3d 用于表示3D点或向量
• Translation3d 专门用于表示平移变换
• .transpose() 用于横向打印向量

// 2. 旋转变换
AngleAxisd rotation(M_PI/2, Vector3d::UnitZ());  // 绕Z轴旋转90度
Vector3d rotated = rotation * point;
cout << "旋转后: " << rotated.transpose() << endl;

• AngleAxisd 使用轴角表示旋转
• M_PI 是数学常数π
• Vector3d::UnitZ() 表示Z轴单位向量(0,0,1)

// 3. 缩放变换
Scaling3d scale(2.0, 2.0, 2.0);  // 各方向放大2倍
Vector3d scaled = scale * point;
cout << "缩放后: " << scaled.transpose() << endl;

• Scaling3d 用于表示缩放变换
• 可以在不同方向设置不同的缩放因子

// 4. 组合变换
Affine3d transform = translation * rotation * scale;
Vector3d transformed = transform * point;
cout << "组合变换后: " << transformed.transpose() << endl;

• Affine3d 可以表示任意仿射变换
• 变换的组合顺序很重要：先缩放，再旋转，最后平移

6.4.2 rotations.cpp 详解

这个示例展示了旋转的不同表示方法及其转换。让我们详细分析代码：

// 定义欧拉角（弧度制）
double yaw = M_PI / 4;    // 绕Z轴旋转45度
double pitch = M_PI / 6;  // 绕Y轴旋转30度
double roll = M_PI / 3;   // 绕X轴旋转60度

• 使用弧度制表示角度
• 遵循ZYX顺序（偏航-俯仰-滚转）
• 这是航空航天中常用的欧拉角顺序

// 从欧拉角创建旋转矩阵
Matrix3d R = (AngleAxisd(yaw, Vector3d::UnitZ()) * 
              AngleAxisd(pitch, Vector3d::UnitY()) * 
              AngleAxisd(roll, Vector3d::UnitX())).matrix();

• 使用轴角表示创建基本旋转
• 按照Z-Y-X顺序组合旋转
• .matrix() 将旋转转换为矩阵形式

// 从旋转矩阵提取欧拉角
Vector3d euler = R.eulerAngles(2, 1, 0);  // ZYX顺序

• eulerAngles(2,1,0) 指定提取顺序：2=Z轴，1=Y轴，0=X轴
• 返回的角度范围：
  • Z轴：[-π, π]
  • Y轴：[-π/2, π/2]
  • X轴：[-π, π]

// 四元数表示
Quaterniond q(R);  // 从旋转矩阵构造四元数
cout << "四元数:\n"
     << "w: " << q.w() << "\n"  // 实部
     << "x: " << q.x() << "\n"  // 虚部i
     << "y: " << q.y() << "\n"  // 虚部j
     << "z: " << q.z() << "\n"; // 虚部k

• 四元数形式：w + xi + yj + zk
• w 是实部，(x,y,z)是虚部
• 四元数自动归一化：w² + x² + y² + z² = 1

// 轴角表示
AngleAxisd aa(R);  // 从旋转矩阵构造轴角
cout << "轴角表示:\n"
     << "角度: " << aa.angle() * 180 / M_PI << " 度\n"
     << "轴: " << aa.axis().transpose() << "\n";

• 轴角表示：绕固定轴旋转特定角度
• angle() 返回旋转角度（弧度）
• axis() 返回旋转轴的单位向量

重要概念说明

1. 旋转表示的选择：
   • 欧拉角：直观但有万向节死锁问题
   • 旋转矩阵：计算方便但参数冗余
   • 四元数：紧凑且稳定，适合插值
   • 轴角：最符合人类直觉
2. 常见应用场景：
   • 机器人运动学：描述关节旋转
   • 计算机图形学：相机视角变换
   • 姿态估计：传感器数据融合
3. 性能考虑：
   • 存储：四元数最省内存
   • 计算：旋转矩阵乘法最快
   • 插值：四元数球面线性插值最平滑

6.5 实践建议

1. 选择合适的变换类型
   • Isometry3d：刚体变换
   • Affine3d：一般仿射变换
   • Projective3d：投影变换
2. 避免万向节死锁
   • 注意欧拉角的使用顺序
   • 考虑使用四元数
3. 性能优化
   • 缓存变换矩阵
   • 使用适当的数据类型