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Compare_Matrix_Squre_Sum_in_MATLAB中矩阵平方和的比较
矩阵平方和的计算
矩阵平方和的定义
矩阵平方和的定义是对矩阵中的每一个元素进行平方，然后求和。
对于一个矩阵$A$，其平方和定义为：
$$ \text{sum} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} A(i,j)^2 $$这个平方和计算，在某些机器学习的算法中、或者特殊的优化问题中都会涉及到。
矩阵平方和的计算方法
通常而言，前面的公式就给出了计算的方法，无论怎么做，都会涉及到对矩阵中的每一个元素进行平方，然后求和。 因此算法的时间复杂度是$O(m*n)$，其中$m$是矩阵的行数，$n$是矩阵的列数，当$A$是方阵时，$m=n$。 最终，算法的效率取决于矩阵的表示形式和对矩阵元素的访问方式。 当然，还有可能会有一些特殊的优化方法，比如矩阵的特殊性质，可以通过一些特殊的方法来计算，这里不做考虑。
最后，就是并行指令集的使用，比如SIMD指令集，这里也不进行相关的讨论。
下面，就主要是对在Matlab中实现矩阵平方和的几种方法进行比较。其实比较的是Matlab中访问矩阵元素的方式的性能差异。
Matlab的若干实现
我们非常随意的实现了一些方法。
其中最重要的就是所谓的基线方法。这个方法通常选择一个最简单/直观的方法，便于抓住算法中的核心要素。 然后作为对比的基准，也能够对不同算法的性能进行比较。
这种研究办法，是一种常见的研究方法。例如，在优化算法中，通常选择格子搜索或者随机搜索作为基线方法。 提出一种新的方法，通常希望能够对比基线方法有更好的性能，并且这种性能提升是显著的。 此外，也会结合新算法与基线算法的执行过程来解释算法优势的原理，这就是一般算法研究文章中非常重要的理论分析。
1function sumRet = bench_loop_row_column(A)
2 % 按照行、列的方式进行循环求和，基线算法
3 % 内存：O(1)
4 % 时间：O(m*n) ~ O(n^2)
5 [m, n] = size(A);
6 sumRet = 0;
7 % 对行进行循环
8 for i = 1:m
9 % 对列进行循环
10 for j = 1:n
11 sumRet = sumRet + A(i, j) ^ 2;
12 end
13
14 % 列循环结束
15 end
16
17 % 行循环结束，
18end
上面这个最为直观的算法，就是对矩阵的每一行进行遍历，然后对每一行的每一个元素进行平方，然后求和。 这个作为基线是一个恰当的选择。
相应的，我们就会想到先循环列，再循环行来作为对基线算法的改进。
1function sumRet = bench_loop_column_row(A)
2 % 按照列、行的方式进行循环求和，第一次改进的算法
3 % 充分考虑到矩阵的存储方式：列优先
4 % 内存：O(1)
5 % 时间：O(m*n) ~ O(n^2)
6 [m, n] = size(A);
7 sumRet = 0;
8
9 for i = 1:n
10
11 for j = 1:m
12 sumRet = sumRet + A(j, i) ^ 2;
13 end
14
15 end
16
17end
考虑到Matlab能够直接索引列，我们就可以考虑对每列进行循环，直接对列进行操作。或者，换成对行进行操作。
下面几个算法就是行、列操作的形式，这里又有一个小小的差别，就是使用更多内存来直接进行向量加法，最后调用sum求和。
或者还可以在循环内部调用sum函数，这样内存的使用会从$\mathcal{O}(n)$降低到
1function s = bench_loop_column_sum(A)
2 % 直接循环列，采用向量化的方式访问每个列
3 % 用一个向量来存储每一列和
4 % 最终调用sum函数求和
5 % 内存：O(n)
6 % 时间：考虑到，向量加法的时间复杂度是O(n)
7 % 所以，这里的时间复杂度依然是O(m*n) ~ O(n^2)
8 N = size(A, 2);
9 v = zeros(size(A, 1), 1);
10
11 for i = 1:N
12 v = v + A(:, i) .^ 2;
13 end
14
15 s = sum(v);
16end
1function s = bench_loop_sum_column(A)
2 % 直接循环列，采用向量化的方式访问每个列
3 % 直接对列调用sum函数求列和，最终累加求和
4 % 内存：O(1)
5 % 时间：O(m*n) ~ O(n^2)，这里同样认为.^ 的时间复杂度是O(n)
6 s = 0;
7 N = size(A, 2);
8
9 for i = 1:N
10 s = s + sum(A(:, i) .^ 2);
11 end
12
13end
1function s = bench_loop_row_sum(A)
2 % 直接循环行，采用向量化的方式访问每行
3 % 用一个向量来存储行和
4 % 最终调用sum函数求和
5 % 内存：O(n)
6 % 时间：考虑到，向量加法的时间复杂度是O(n)
7 % 所以，这里的时间复杂度依然是O(m*n) ~ O(n^2)
8 N = size(A, 1);
9 v = zeros(1, size(A, 2));
10
11 for i = 1:N
12 v = v + A(i, :) .^ 2;
13 end
14
15 s = sum(v);
16end
1function s = bench_loop_sum_row(A)
2 % 直接循环行，采用向量化的方式访问每个行
3 % 直接对行调用sum函数求行和，最终累加求和
4 % 内存：O(1)
5 % 时间：O(m*n) ~ O(n^2)，这里同样认为.^ 的时间复杂度是O(n)
6 s = 0;
7 N = size(A, 1);
8
9 for i = 1:N
10 s = s + sum(A(i, :) .^ 2);
11 end
12
13end
接下来，我们利用矩阵的向量访问方式来构造一个算法。
1function s = bench_loop_vec(A)
2 % 直接将矩阵展开成一个向量，循环求和
3 % 内存：O(1)
4 % 时间：O(m*n) ~ O(n^2)
5 s = 0;
6 N = numel(A);
7
8 for i = 1:N
9 s = s + A(i) .^ 2;
10 end
11
12end
此外，sum函数也提供了两个算法变体，一个是调用两次（默认对行求和）
1function s = bench_sum_sum(A)
2 % 直接两次调用sum函数，对矩阵进行求和
3 s = sum(sum(A .^ 2));
4end
1function s = bench_sum_all(A)
2 % 直接调用一次sum函数，对矩阵进行求和
3 s = sum(A .^ 2, 'all');
4end
还可以把sum与矩阵列向量访问形式结合起来，构成一种算法。
1function s = bench_sum_vec(A)
2 % 直接将矩阵展开成一个向量
3 % 进行元素.^计算，调用sum函数求和
4 s = sum(A(:) .^ 2);
5end
最后还是利用矩阵的向量展开方式，就是两个其实一样的算法，因为dot函数内部就是调用矩阵乘法。
1function s = bench_vec_dot(A)
2 % 直接将矩阵展开成一个向量，进行点积计算
3 s = dot(A(:), A(:));
4end
1function s = bench_matrix_mul(A)
2 % 直接将矩阵展开成一个向量，进行矩阵乘法计算
3 s = A(:).' * A(:);
4end
这些算法都非常平常，但是，通过上面的联系，也能提升我们对Matlab的矩阵操作的理解。 接下来就是对这些算法的性能进行比较。
性能比较
性能比较方法
时间性能比较，一般可以直接利用timeit函数来完成，这个函数会对一个函数进行多次调用，然后求中位数。
这个函数还能包括输出变量的构造时间。
利用这个函数，我们编了一个工具，对不同规模的矩阵进行比较。 这里代码的注释非常清楚，无需赘述。
1%% Benchmark functions helper
2function [n, result] = bench_f_n(n, f)
3 % 按照给定的参数，对函数进行测试
4 % n: 矩阵大小
5 % f: 函数句柄
6 % 返回值：n, result
7 % n: 矩阵大小的向量， result: 运行时间的向量
8 arguments
9 n (:, :) {mustBePositive}
10 f function_handle
11 end
12
13 % 保证n是一个向量，并且是正整数
14 n = round(n(:));
15 result = zeros(1, numel(n));
16 % 对每一个n进行测试，直接采用for循环，不使用arrayfun
17 for i = 1:numel(n)
18 A = rand(n(i), n(i));
19 result(i) = timeit(@()f(A));
20 end
21
22 % result = arrayfun(@(x) timeit(@()f(rand(x, x))), n);
23 % 这样也是可以的，但是，对于此处，上面的写法更加直观
24 % 这就是采用for循环的地方
25 % 为了代码的可读性，并且对性能的影响不大，因为这里的循环次数不多
26end
性能比较代码
我们把前面的算法代码和上面的性能比较代码放在一个+benchobjs的目录中，就构成一个namespace命名空间，通过import benchobjs.*来导入这些函数。
编写如下的测试脚本：
- Matlab code
- 设置测试范围
- 运行测试获取数据
- 可视化测试结果
1%% import functions in benchobjs
2import benchobjs.*;
3
4%% setup problem
5n = round(logspace(3, 4, 10));
6functions = {@bench_loop_row_column, @bench_loop_column_row, ...
7 @bench_loop_column_sum, @bench_loop_sum_column, ...
8 @bench_loop_row_sum, @bench_loop_sum_row, ...
9 @bench_loop_vec, @bench_sum_sum, ...
10 @bench_sum_all, @bench_sum_vec, ...
11 @bench_vec_dot, @bench_matrix_mul};
12markers = {'o', 'x', '+', '*', 's', 'd', '^', 'v', '>', '<', 'p', 'h'};
13% 这里是常见的小技巧，将函数的句柄存储在一个cell数组中
14% 这样可以方便的对这些函数进行遍历
15% 同时，把线型标签也存储在一个cell数组中，这样可以方便的对这些线型进行遍历
16
17%% calculation
18results = cell(numel(functions), 2);
19
20for i = 1:numel(functions)
21 [n, result] = bench_f_n(n, functions{i});
22 results{i, 1} = n;
23 results{i, 2} = result;
24 fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
25 mat2str(n), mat2str(result));
26end
27
28cmd = sprintf('save compareMatrixSquareSum%d results', maxNumCompThreads);
29eval(cmd);
30
31% 这里试图考虑到多线程的影响，目前在12核心的及其上进行了不同线程数的测试
32% 发现对于这个问题，多线程并没有展现出过大的差别
33%% Visualize
34% 一般也会把原始数据画出来稍微看一下
35% 为了确保数据的正确性，并且可以对数据进行初步的分析
36figure;
37clf;
38
39for i = 1:numel(functions)
40 [n, result] = results{i, :};
41 plot(n, result, 'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});
42 yscale('log');
43 hold on;
44 fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
45 mat2str(n), mat2str(result));
46end
47
48legend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...
49 functions, 'UniformOutput', false), ...
50 'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
51xlabel('Matrix size');
52ylabel('Time (s)');
53grid on
54
55% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-time.png', ...
56% 'Resolution', 600);
57
58%% Visualize 2
59% 针对基准的加速比，这是最常见的基准测试结果的展示方式
60figure;
61clf;
62
63for i = 2:numel(functions)
64 [n, result] = results{i, :};
65 plot(n, results{1, 2} ./ result, ...
66 'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});
67 hold on;
68 fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
69 mat2str(n), mat2str(result));
70end
71
72legend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...
73 functions(2:numel(functions)), 'UniformOutput', false), ...
74 'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
75xlabel('Matrix size');
76ylabel('Time (s)');
77grid on
78
79% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-acc.png', ...
80% 'Resolution', 600);
81
82%% Visualize 2
83% 去掉基准和两个最好的函数，这样可以进行更加细节的比较和分析
84% 这里必要性不太大，主要是为了展示这种方式
85figure;
86clf;
87
88for i = 2:numel(functions) - 2
89 [n, result] = results{i, :};
90 plot(n, results{1, 2} ./ result, ...
91 'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});
92 hold on;
93 fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
94 mat2str(n), mat2str(result));
95end
96
97legend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...
98 functions(2:numel(functions) - 2), 'UniformOutput', false), ...
99 'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
100xlabel('Matrix size');
101ylabel('Time (s)');
102grid on
103
104% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-acc-2.png',...
105% 'Resolution', 600);
性能比较结果
最终，可以得到如下的性能比较结果。
首先，不同算法的性能有一定差异。基本上，算法分为两组，也可以视为三组。
- 第一组是基线算法，对每一行进行遍历，然后对每一个元素进行平方，然后求和。
- 第二组是向量展开访问并调用矩阵乘法（
mtimes直接调用BLAS二进制库）的两个算法，性能相当。 - 其他就是各种循环的组合以及
sum函数的组合。
这个分组，按照加速比来看，更加明显。 向量展开+矩阵乘法的算法在1000~10000的规模下，性能均有显著提升，从15倍到40倍。
除去基线算法和向量化算法，其他算法的关系较为复杂，但是也能通过进行列访问、部分向量化来获得几倍的性能提升。 这充分显示了列优先矩阵访问对与计算效率的影响。
总结
- 进行算法开发，一定要按照基线算法、算法优化的思路来考虑。
- 对算法的效率进行比较，最好选择不同的规模来分析问题。
- 加速比是一个很好的指标，能够直观的看出算法的性能提升。
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