分解的阶次选择 #
基本概念 #
对于POD和DMD都涉及到$\tau$的选择问题。 这个参数确定了分解后的模态数量和重构的精度。 当然，分解的模态还可以用于分析流动的物理特性，请参考DMD的物理意义中对$D = ABC$的介绍。
POD的阶次选择 #
对于POD而言，阶次的选择相对直观。 因为SVD分解的奇异值是单调递减的， $\sigma_i$ 表示第$i$个特征值， 随着$i$的增大，$\sigma_i$ 逐渐减小。
基本上有两个方法来确定$\tau$，一个根据$\sigma_i$的大小，一个根据$\sigma_i$的斜率（变化率）。
- 确定一个阈值，当奇异值小于该阈值时，认为该模态对流场的贡献可以忽略不计。
- 根据增大$\tau$时，$\sigma_i(\tau)$的值不再显著变化，认为此时$\tau$已经取到合适的值。
DMD的阶次选择 #
对于DMD而言，阶次的选择相对复杂。
在DMD方法中，借此的出现是对$\mathbf{X}_1$进行SVD分解， 此时可以选择$\tau$个奇异值最大的模态。 接下来，就需要计算复数矩阵$S$的特征值构成的向量$\mu$。每一个$\mu_i$对应于复平面上的点：
- 当这个点位于单位圆上时，对应的模态是稳定的
- 当这个点位于单位圆内时，对应的模态是衰减的，当该店接近圆心时对应于噪声
- 当这个点位于单位圆外时，对应的模态是发散的
但是考虑到增益$\mathbf{b}$并没有排序，这里的选择就变得复杂了。如果我们把$b_i$和$\mu_i$画在3D空间中， 就能得到完整的时间域的系统行为（综合了时间模态和增益）。
例如，对于我们之前使用的虚假流场， 有两个模态是衰减的，对应的增益为22左右， 有两个模态是发散的，对应的增益为$10^{-3}$量级。
总之，对于DMD的阶次选择，还需要根据具体的时间模态和增益来确定。