什么是数据矩阵分解？ #

数据矩阵 #

数据分解针对的是空间、时间相关的物理量的演化的数据分析问题。 我们可以约定采用矩阵$D$的方式来表达场数据，矩阵的行约定为空间位置，列约定为时间点。 矩阵的元素$D_{i,j}$表示在时间点$t_j$时，空间位置$p_i$的物理量。

空间位置 #

空间位置可以是1D、2D、3D的坐标，是时空场数据的行， 用$p_i$表示。

时间点 #

时间点是时空场数据的列，用$t_j$表示。 一个数据矩阵的一个完整的列$D(:,m)$，称为一个时刻$t_m$的快照（snapshot）。

数据矩阵的秩 #

数据矩阵的一个重要特征就是矩阵的秩（rank），这个参数描述了矩阵行或者列的线性独立特性。 当数据矩阵的大小为$n_p \times n_t $时， 如果矩阵的秩等于$\min(n_p, n_t)$，称为满秩； 如果矩阵的秩小于$\min(n_p, n_t)$， 则矩阵中有行（列）可以表示为其它行（列）的线性组合。

对于一般的物理问题中，我们会假设$n_p \gg n_t$，也就是空间点数目远大于时间点数目。 这中情况下，满秩的数据矩阵的秩等于$n_t$。

这里所指称的数据分解，就是采用某种方式，将数据矩阵表达为线性无关的基的线性组合。

数据矩阵分解 #

对于一个数据矩阵$D$，我们希望将其分解为三个矩阵的乘积，即

显然，这种分解如果没有额外的约束，可以有无数种分解方式。 那么对于不同的分解方式，如何理解和选择分解的基矩阵$A$、$B$、$C$， 是数据矩阵分解的关键问题。

常规的考虑，所有的分解都有下面的性质，$A$的行数与$D$相同，而$C$的列数与$D$相同。 因此分解的矩阵有明确的物理含义：

• $A$：模态形状矩阵，描述了物理量在空间分布的模态
• $C$: 时间结构矩阵，描述了物理量在时间演化的动态特性
• $B$: 增益矩阵，描述了各个模态和动态特性的相对重要性